TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Tomando como referencia la fórmula de probabilidad condicional,



despejando,

p(AÇE) = p(E)p(A½E) Teorema de la multiplicación para probabilidad condicional

donde:

p(AÇE) = probabilidad de que ocurran A y E

p(E) = probabilidad de que ocurra E

p(A½E) = probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento E ya ocurrió

Ejemplos:

1. En un lote de producción hay 25 productos, 5 de los cuales tienen defectos menores y 9 tienen defectos mayores, si se toman de este lote tres productos uno tras otro, determine la probabilidad de que: a. El primer producto no tenga defectos y que el segundo y tercero tengan defectos mayores, b. El primer producto tenga defectos menores, el segundo tenga defectos mayores y que el tercero no tenga defectos, c. El primer producto y el tercero no tengan defectos.

Solución:

a. Definiremos algunos eventos;

B1 = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos

DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores

DM3 = evento de que el tercer producto seleccionado tenga defectos mayores

p(B1ÇDM2ÇDM3) = p(B1)p(DM2½B1)p(DM3½B1ÇDM2)

=(11/25)*(9/24)*(8/23)

= 0.44*0.375*0.347826

= 0.05739

b. Dm1= evento de que el primer producto seleccionado tenga defectos menores

DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores

B3 = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos

P(Dm1ÇDM2ÇB3) = p(Dm1)p(DM2½Dm1)p(B3½Dm1ÇDM2)

= (5/25)*(9/24)*(11/23)=

= 0.2*0.375*0.4782608= 0.03587

c. B1 = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos

B2 = evento de que el segundo producto seleccionado no tenga defectos

Dm2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos menores

DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores

B3 = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos

En este caso como no se especifica de que tipo debe ser el segundo producto, se considera que este puede ser no defectuoso, con defectos menores o con defectos mayores; por lo tanto;



p(B1ÇB2ÇB3) + p(B1ÇDm2ÇB3) + p(B1ÇDM2ÇB3)



= p(B1)p(B2½B1)p(B3½B1ÇB2) + P(B1)p(Dm2½B1)p(B3½B1ÇDm2) + p(B1)p(DM2½B1)p(B3½B1ÇDM2)



=(11/25)*(10/24)*(9/23) + (11/25)*(5/24)*(10/23) + (11/25)*(9/24)*(10/23)



=(0.44)(0.41666)(0.39130) + (0.44)(0.20833)(0.43478) + (0.44)(0.375)(0.43478)



= 0.07173 + 0.03985 + 0.07174

= 0.18332