DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Esta también es un caso especial de la distribución Binomial, ya que en este caso se trata de que al llevar a efecto varias veces un experimento binomial, se desea determinar la probabilidad de que ocurran r éxitos, solo que el último de ellos debe ocurrir en el k-ésimo ensayo o repetición del experimento que es el último.

Para encontrar una fórmula que nos permita calcular probabilidades con esta distribución, partiremos de un ejemplo.

Ejemplo:

Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que aparezcan tres águilas, y la última que aparezca sea en el último lanzamiento.

Solución:

Sí trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, encontraremos que las ramas que nos interesan son aquellas en donde aparecen 3 águilas y la última de ellas aparece en el último lanzamiento; ejemplos de una rama que nos interesa sería;

SAASSSSA, SSASSSAA, ASSASSSA, etc., etc.

Entonces la probabilidad se puede determinar de la siguiente forma:

(Probabilidad de que aparezcan Tres águilas, donde la última de ellas aparece en el último lanzamiento de la moneda)=(# de ramas del árbol en donde la tercera águila que aparece está en el octavo lanzamiento)(probabilidad asociada a cada rama)

Luego, definiendo algunos términos a utilizar;

Y = k = número de lanzamientos necesarios para que se obtenga una águila por r-ésima vez = 8 lanzamientos

r = número de veces que aparece un éxito = 3 águilas

p = probabilidad de éxito = p(aparezca águila) = 2/3

q = probabilidad de fracaso = p(aparezca sello) = 1/3

Luego, el número de ramas que nos interesan del árbol se podría determinar de la siguiente forma:

                                               # de ramas = 

¿Cual es la razón de que se tomen k-1 ensayos y r-1 éxitos al momento de calcular el número de ramas que nos interesan?

Lo anterior se debe a que en el último ensayo siempre va a haber un éxito, por lo que como éste no se va a mover como lo hacen los éxitos anteriores, entonces no se toma en cuenta para el cálculo de las ramas que nos interesan.

Y la probabilidad asociada a cada rama sería;

Probabilidad asociada a cada rama = p(S)*p(A)*p(A)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A)=

= q*p*p*q*q*q*q*p = 

Por lo tanto, la fórmula a utilizar sería:

                                                 

Donde:

P(Y=k) = probabilidad de que ocurran r éxitos en k ensayos y que el último de ellos que es el r-ésimo, ocurra en el k-ésimo ensayo que es el último.

r = número de éxitos

k = número de ensayos para obtener r éxitos

p = p(éxito) = p(aparezca águila)

q = p(fracaso) = p(aparezca sello) = 1-p