AXIOMAS Y TEOREMAS

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

1)La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 £ p(A) ³ 1

2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.

                                                           p(d) = 1

3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AÈB) = p(A) + p(B)

                                  

Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A₁, A₂, A₃,.....An, entonces;

p(A₁ÈA₂È.........ÈA_n) = p(A₁) + p(A₂) + .......+ p(A_n)

TEOREMAS

d

TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

A

                                                                 p(f)=0

                                                                                                                  

DEMOSTRACIÓN:

Si sumamos a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, A^c debe ser, p(A^c)= 1 – p(A)

DEMOSTRACIÓN:

Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y A^c luego d=AÈA^c, por tanto p(d)=p(A) + p(A^c) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(A^c)= 1 - p(A) .LQQD

TEOREMA 3. Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).

DEMOSTRACIÓN:

Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B). LQQD

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)

DEMOSTRACIÓN: Si A y B son  dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).  LQQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).

DEMOSTRACIÓN:

Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB). LQQD

COROLARIO:

AÇBÇC

AÇB

Para tres eventos A, B y C, p(AÈBÈC) = p(A) + p(B) + p(C) – p(AÇB) – p(AÇC) – (BÇC) + p(AÇBÇC).