DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

Características:

a)      Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados.

b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.

c)      Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.

d)      El número de repeticiones del experimento, n es constante.

Al igual que hicimos con la distribución binomial, en este caso partiremos de un ejemplo para obtener la fórmula general para resolver problemas que tengan este tipo de distribución.

Ejemplo:

Se lanza al aire un dado normal, 5 veces, determine la probabilidad de que aparezca dos números uno, dos números tres y un número cinco.

Solución:

Si pensamos en la forma que se han resuelto otros problemas, lo primero que se me ocurre es trazar un diagrama de árbol que nos muestre los 5 lanzamientos del dado; esto sería muy laborioso, y se muestra parte del mismo a continuación;

Del diagrama de árbol se obtendría el espacio muestral y enseguida se determinarían las probabilidades requeridas. En lugar de lo anterior, obtendremos una fórmula a partir de la siguiente expresión:

p(aparezcan dos unos, dos tres y un cinco)=(número de ramas en donde haya dos unos, dos tres y un cinco)(probabilidad asociada a cada una de las ramas)

Para esto definiremos lo siguiente:

n =  número de lanzamientos del dado

x₁ = número de veces que aparece el número 1 = 2

x₂ = número de veces que aparece el número 2 = 0

x₃ = número de veces que aparece el número 3 = 2

x₄ = número de veces que aparece el número 4 = 0

x₅ = número de veces que aparece el número 5 = 1

p₁ = probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6

p₂ = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6

p₃ = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6

p₄ = probabilidad de que aparezca el número 4 = 1/6

p₅ = probabilidad de que aparezca el número 5 = 1/6

p₆ = probabilidad de que aparezca el número 6 = 1/6

Luego, ¿cómo obtendremos el número de ramas donde aparecen dos números 1, dos números 3 y un número 5?

Enunciando algunas de las ramas, tenemos lo siguiente;

(1, 1, 5, 3, 3), (5, 1, 1, 3, 3), (1, 3, 3, 1, 5), ... etc, etc.

¿Qué tipo de arreglos son estos, combinaciones, permutaciones o que?

SON PERMUTACIONES EN DONDE HAY OBJETOS IGUALES.

Por tanto el número de ramas se puede obtener de la siguiente manera:

El número de ramas = 

Y en forma general,

                                    

Luego la probabilidad asociada a cada una de las ramas, sería;

p(asociada a cada una de las ramas) = p(#1)p(#1)p(#3)p(#3)p(#5)=p₁*p₁*p₃*p₃*p₅=

                                                           =p₁²*p₃²*p⁵

Por tanto la fórmula general será:

                           

donde:

p(x₁, x₂,....,x_k, n) = probabilidad de que en n ensayos aparezcan x₁ objetos del primer tipo, x₂ objetos del segundo tipo.......y x_k objetos del último tipo.

n = x₁+x₂+....x_k

Resolviendo el ejemplo;

n = 5

x₁ = número de veces que aparece el número 1 = 2

x₂ = número de veces que aparece el número 3 = 2

x₃ = número de veces que aparece el número 5 = 1

p₁= probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6

p₂ = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6

p₃ = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6