En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales, pero que dadas sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son, n ¥® ( n es muy grande) y p®0 (p es muy pequeña), por lo que:
La expresión anterior solo se cumple cuando n ®¥ y p®0, solo en este caso, si esto no se cumple, la aproximación no se puede llevar a efecto, por lo que la fórmula a utilizar en este caso sería:
Donde:
l =m= np = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitos
n = número de repeticiones del experimento
p = probabilidad de éxito = p(éxito)
Una regla general aceptable es emplear esta aproximación si n³20 y p£0.05: sí n³100, la aproximación es generalmente excelente siempre y cuando np£10.
Ejemplos:
1. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.
Solución:
a) n = 100
p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito)
q = 0.95 = p(encuadernación no defectuosa) = p(fracaso)
x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas
b)n = 100 encuadernaciones
p = 0.05
l = np = (100)(0.05)= 5
x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas
Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución, nos damos cuenta de que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para calcular probabilidades Binomiales.
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