UNIDAD V. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

En teoria de la probabilidad una distrubucion de la probabilidad  se llama continua si su funcion de distrubicion continua . Puesto que la función de distribución de una variable aletoria  aX viene dada por , la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todonúmero real a, esto es, la probabilidad de que Xtome el valor a es cero para cualquier valor dea. Si la distribución de X es continua, se llama aX variable aleatoria continua 

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Características:

a)      Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x;

                                     -¥< x < ¥

b)      La función que nos define esta distribución es:

                                                       -¥< x < ¥

 Al dar a la función los valores de m , s² y valores a x, obtendremos la      distribución en cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que también se le conoce como campana de Gauss. Hay un número infinito de funciones de densidad Normal, una para cada combinación de m y s. La mediam mide la ubicación de la distribución y la desviación estándar s mide su dispersión.

                  c)   Es simétrica con respecto a su eje vertical.

d)  Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a tocar el eje de las equis.

e)   El área total bajo la curva es 1.

f)   Sí sumamos a  m ± s, se observará que aproximadamente el 68.26% de los       datos se encuentran bajo la curva,  si sumamos a m ± 2s, el 95.44% de los datos estará entre esos límites y si sumamos a m± 3s, entonces el 99.74% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.

¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal?

De acuerdo a como se trataron las distribuciones de probabilidad continuas en la unidad III, lo más lógico es que la función f(x, m, s²), se integre entre los límites de la variable x; esto es,

          

La integral anterior nos daría el área bajo la curva de la función, desde a hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidad buscada.

Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x, esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera:

                                          

Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que nos dá el área que se muestra a continuación

APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA BINOMIAL

En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n¥® y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,

                                                                 

Donde:

x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros

m = np = media de la distribución Binomial

s =  = desviación estándar de la distribución Binomial

Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida.

En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. La aproximación es excelente cuando n es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuando puede utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de np y nq. Sí ambos, np y nq son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.

Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una distribución  que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal,

Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación:

¿Porqué vamos a sumar o a restar ½ a x?

Este es un factor de corrección debido a que se está evaluando una variable discreta con una distribución continua, por lo que hay que delimitar claramente desde que punto se va a evaluar la variable, dicho de otra forma, en que límite de la barra (inferior o superior) nos debemos posicionar para determinar la probabilidad requerida, cada barra de probabilidad a evaluar tiene como base la unidad, ese es el porqué del± ½.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial.

Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas.

La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro b, si su función de densidad es:

                              , x > 0      ;  f(x) = 0   en cualquier otro caso

donde b > 0

La  media y la variancia de la distribución exponencial son:

                                    m = b              y                  s² = b²

 Relación con el proceso de Poisson.

Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también  que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de Poisson.

La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro l, donde l puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por:

                                 ;   

Ahora puede utilizarse lo anterior  y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de Poisson. La probabilidad de que el período hasta que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra un evento de Poisson en x. Esto último por supuesto está dado por . Como resultado,

                                                     P(X ³ x) = 

Entonces, la función de distribución acumulada para x es:

                                                P(0£ X £ x) = 1 - 

Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad:

                                                     f(x) = 

La cual es la función de densidad de la distribución exponencial con  .

Nótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro , el recíproco del parámetro en la distribución de Poisson. El lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de Poisson no tiene memoria, lo cuál implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos son independientes. Aquí el parámetro importante  es el tiempo promedio entre eventos. En teoría de la confiabilidad,  donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de Poisson,  recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable.

En el siguiente ejemplo se muestra una aplicación simple de la distribución exponencial en un problema de confiabilidad. La distribución binomial también juega un papel importante en la solución.

Ejemplos:

1. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla . S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?

Solución:

La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es:

                     la | nos indica que la integral se va  a evaluar desde 8 hasta ¥      

Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución Binomial,

n = 5

p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años

q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años

P(x ³ 2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)

               

2. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?

Solución:

                lanos indica que la integral va a ser evaluada de 0 a 3

x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos

      x = 0, 1, 2,...,6 días

p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276

q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran  3 minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724

                   

                                                    = 0.11587 + 0.02157 = 0.13744

Problemas Propuestos

1. Un investigador de la UCLA reporta que las ratas viven un promedio de 40 meses cuando sus dietas son muy restringidas y luego enriquecidas con vitaminas y proteínas. Suponiendo que las vidas de tales ratas están normalmente distribuidas con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que una rata determinada viva

a) más de 32 meses;

b) menos de 28 meses;

c) entre 37 y 49 meses.

r. a) 0.8980 b) 0.0287

c) 0.6080



2. Las piezas de pan de centeno distribuidas a las tiendas locales por una cierta pastelería tienen una longitud de 30cm y una desviación estándar de 2cm. Suponiendo que las longitudes están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de las piezas son

a) de más de 31.7cm de longitud?

b) entre 29.3 y 33.5 cm de longitud?

c) de una longitud menor que 25.5 cm?

r. a) 19.77%

b) 59.67%

c) 1.22%



3. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 ml.

a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 ml?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 ml?

c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 ml en los siguientes 1000 refrescos?

d) ¿Debajo de qué valor se obtiene el 25% más pequeño de los refrescos?

r. a) 0.0548

b) 0.4514

c) 23

d) 189.95 ml

UNIDAD IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS.

Las características de esta distribución son:

a)      En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c)      Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d)      El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

  A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema que tenga este tipo de distribución.

Ejemplo:

Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas.

Solución:

Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, águila o sello, cutas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3.

Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en donde representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

Características:

a)      Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados.

b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.

c)      Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.

d)      El número de repeticiones del experimento, n es constante.

Al igual que hicimos con la distribución binomial, en este caso partiremos de un ejemplo para obtener la fórmula general para resolver problemas que tengan este tipo de distribución.

Ejemplo:

Se lanza al aire un dado normal, 5 veces, determine la probabilidad de que aparezca dos números uno, dos números tres y un número cinco.

Solución:

Si pensamos en la forma que se han resuelto otros problemas, lo primero que se me ocurre es trazar un diagrama de árbol que nos muestre los 5 lanzamientos del dado; esto sería muy laborioso, y se muestra parte del mismo a continuación;

Del diagrama de árbol se obtendría el espacio muestral y enseguida se determinarían las probabilidades requeridas. En lugar de lo anterior, obtendremos una fórmula a partir de la siguiente expresión:

p(aparezcan dos unos, dos tres y un cinco)=(número de ramas en donde haya dos unos, dos tres y un cinco)(probabilidad asociada a cada una de las ramas)

Para esto definiremos lo siguiente:

n =  número de lanzamientos del dado

x₁ = número de veces que aparece el número 1 = 2

x₂ = número de veces que aparece el número 2 = 0

x₃ = número de veces que aparece el número 3 = 2

x₄ = número de veces que aparece el número 4 = 0

x₅ = número de veces que aparece el número 5 = 1

p₁ = probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6

p₂ = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6

p₃ = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6

p₄ = probabilidad de que aparezca el número 4 = 1/6

p₅ = probabilidad de que aparezca el número 5 = 1/6

p₆ = probabilidad de que aparezca el número 6 = 1/6

Luego, ¿cómo obtendremos el número de ramas donde aparecen dos números 1, dos números 3 y un número 5?

Enunciando algunas de las ramas, tenemos lo siguiente;

(1, 1, 5, 3, 3), (5, 1, 1, 3, 3), (1, 3, 3, 1, 5), ... etc, etc.

¿Qué tipo de arreglos son estos, combinaciones, permutaciones o que?

SON PERMUTACIONES EN DONDE HAY OBJETOS IGUALES.

Por tanto el número de ramas se puede obtener de la siguiente manera:

El número de ramas = 

Y en forma general,

                                    

Luego la probabilidad asociada a cada una de las ramas, sería;

p(asociada a cada una de las ramas) = p(#1)p(#1)p(#3)p(#3)p(#5)=p₁*p₁*p₃*p₃*p₅=

                                                           =p₁²*p₃²*p⁵

Por tanto la fórmula general será:

                           

donde:

p(x₁, x₂,....,x_k, n) = probabilidad de que en n ensayos aparezcan x₁ objetos del primer tipo, x₂ objetos del segundo tipo.......y x_k objetos del último tipo.

n = x₁+x₂+....x_k

Resolviendo el ejemplo;

n = 5

x₁ = número de veces que aparece el número 1 = 2

x₂ = número de veces que aparece el número 3 = 2

x₃ = número de veces que aparece el número 5 = 1

p₁= probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6

p₂ = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6

p₃ = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6